烏龜居然膽敢跟跑得像箭一樣快的希臘勇士阿基里斯挑戰賽跑，阿基里斯毫不懷疑自己能獲勝，笑著讓烏龜先跑100米。他能追上烏龜嗎？「那當然！」，你這麼想。「不可能！」但是烏龜這麼認為。烏龜雖然跑得比阿基里斯慢100倍，但是這並不重要，因為在阿基里斯追趕那100米的時間裡，烏龜能往前爬1米。也就是說，當阿基里斯跑到烏龜的起跑點時，烏龜已經在他前面1米，在他追趕這落後的1米的時間裡，烏龜也能往前爬一點點，即1釐米，兩者的距離雖然從100米縮小為1釐米，但是領先就是領先。而且這個領先不會消失，這一點烏龜非常肯定，每次只要阿基里斯追趕到烏龜所在的位置，烏龜都又已經領先一點點，不管那領先有多微小。阿基里斯一定得先到達領先的烏龜所在的位置，這需要時間，但是在這段時間裡，烏龜總是又往前了。兩者的差距跟趕上差距所需的時間雖然越來越小，但是永遠不可能為零。
所以阿基里斯必須跑過無限多個無限小的落差，這需要無限多的時間，阿基里斯永遠辦不到，所以烏龜會贏得賽跑。
這個著名的賽跑悖論出自古希臘哲學家埃萊阿的芝諾（zenonvonelea，西元前490年—西元前430年），芝諾是西元前5世紀的人，提出了好幾個悖論。事實上「悖論（paradoxie）」一詞也是來自古希臘，意思是「違反（para）一般信念（doxa）」的東西，哲學上所說的悖論則比較狹義，指的是特定的論證：看起來前提與推論都正確，但是卻會得出明顯錯誤的結論。芝諾大多數的悖論都建立在「空間與時間可以無限分割」的前提下，如果一個物件可以分割成無限多個部分，那麼人們就稱其為「連續體」（kontinuum）。所以，芝諾認為時間跟空間一樣都是連續體，由可以無限分割下去的部分組成。我們先說到這裡。
現在讓我們觀察賽跑悖論，芝諾宣稱，阿基里斯永遠追不上烏龜，他的論證方式是：在阿基里斯追到烏龜起跑點所需的時間裡，烏龜已經又往前一點了。起初的差距雖然越變越小，但是永遠不會為零，因為空間跟時間都可以無限分割，阿基里斯必須在有限的時間裡，穿過無限多個空間分割，然而無限多個任務，不可能在有限的時間內完成，所以烏龜將贏得賽跑。這是芝諾的論證，他的錯誤在哪裡？
b沒有盡頭就無可存在/b
亞里士多德認為，芝諾在論證的最後耍了花招，就是他宣稱，阿基里斯只有有限的時間可用，但是在有限的時間裡，不可能跑過無限多個空間分割。某種角度來說，亞里士多德認為，阿基里斯也有無限多的時間，意即，阿基里斯有無限多個無限小的時間分割可用，以便跑過無限多個無限小的空間分割。時間作為連續體，也可無限分割，就像空間一樣。芝諾用無限可分割的性質偷渡了無限延伸的概念：阿基里斯雖然沒有無限長的時間，但是有無限多的時間分割可用。所以，亞里士多德說，阿基里斯可以趕上烏龜，因為他能用無限多無限小的時間分割，跑過無限多無限小的空間分割，因為時間就跟空間一樣也是連續體。
從數學的觀點，這個任務也只能算是給小孩玩的遊戲，我們可以簡單算出阿基里斯什麼時候能趕上烏龜，只要十秒多一些就夠了。不過值得注意的是，就算是數學家也不能說出精確的時間點，因為這段時間在小數點以下有無限多位，我們也說不準阿基里斯趕上烏龜前那最後一點的位置，因為在這一點與阿基里斯追上烏龜的那一點之間，還有無限多個點。我們同樣說不出在1之後的下一個實數是多少，也就是介於1與2之間的最小實數是多少，不是1.01，也不是1.00001，而是1.000000000000000000000000……然後不知何時，會出現一個1，作為最後一位，你其實找不到這最後一位，因為那是小數點以下無限多位。
無限延展的概念超過了我們理解能力的界線，可以無限分割其實也是，當我們看向無垠的宇宙，並且問自己，這宇宙是不是在哪兒有個盡頭，還是永遠如此向外延伸。令人意外的是，不管宇宙在空間上是有限還是無限，這兩種情況對我們來說都很難想象。因為有限的整體必定是位在某處，必定是一個更大整體的一部分。難道不是嗎？此外，每道邊界必定是隔開了別的東西，而不是把一個「什麼都沒有」隔開，絕對的、完全沒有「以外」的邊界，難道不是個荒謬的存在嗎？然而，如果宇宙不是有限的，那另一個選擇卻是：宇宙是無限的全體，這難道不也是同樣荒謬且難以想象嗎？我們還能說「沒有盡頭的宇宙」是空間的延展嗎？無限大的東西如何存在？完全沒有邊界的某物，就其根本來說還能是個某物嗎？