1
任何數字除以零，都不會得出一個有意義的數字來。因為除法被定義為乘法的逆轉：如果你先除以零，然後再乘以零，理應得到開始那個數字。然而，乘以零隻會得出零，不會得出任何別的數字。沒有任何數字乘以零會得出非零的結果。因此，除以零的結果實際上是「無意義的」。
1a
裡瓦斯太太進來的時候，雷內正望著窗外。
「才待了一個星期就要出院嗎？都談不上是真正的住院。老天知道，我可是非得長期待下去不可。」
雷內強作笑臉說：「我相信你不會待很久的。」裡瓦斯太太愛在病房裡指手畫腳。大家都知道她的所作所為不過是做做姿態而已，但醫生助手們對她還是留了點神，以免她偶然成功。
「哈。他們倒是巴不得我走。你知道如果你死在醫院裡，他們要負什麼責任嗎？」
「知道。」
「可以肯定這就是他們所擔心的。始終是他們的責任——」
雷內沒有理睬，目光又重新轉向窗外，眺望一道煙霧橫過天空。
「諾伍德太太？」護士叫道，「你的丈夫來接你了。」
雷內又向裡瓦斯太太禮貌地一笑，然後離開了。
1b
卡爾再次簽了名字，護士把表格拿去處理。
他記得他送雷內來住院時的情景，並想起第一次面談時那些老套的問題。當時，他耐著性子，一一回答。
「是的，她是一名數學教授。你在《名人錄》裡可以找到她的名字。」
「不對，我是搞生物學的。」
以及：
「我落下了一盒我需要的載玻片。」
「不，她不可能知道。」
還有他預料中的問題：
「得過。那是大約二十年前我讀研究生的時候。」
「不，我是試圖跳樓。」
「不，當時我和雷內還不認識。」
如此等等，等等。
現在，他們確信了他能幹可靠，便準備讓雷內出院，接受門診治療。
驀然回首，卡爾心不在焉地覺得有點吃驚。在整個面談期間，除了短暫的一刻外，他沒有絲毫似曾相識的錯覺。和醫院、醫生、護士打交道的過程中，他的唯一感覺是麻木，是枯燥無味，是機械重複。
2
有一個著名的「證明」，得出一等於二。該證明的開始是定義：「假設a=1；假設b=1」，得出結果：「a=2a」，也就是說，一等於二。人們容易忽視的是，這個證明過程中將零作為被除數。在這一點上，該證明越過了雷池，使所有法則都徹底失效。允許除以零，不僅可以證明一和二相等，任何兩個數字——無論是真實的還是想象的，無論是有理數還是無理數——都可以是相等的。
2a
剛和卡爾回到家裡，雷內就立刻走進書房，來到書桌跟前，將她的所有手稿面朝下掃成一堆。折騰期間，每當有一頁紙面朝上，她就會情不自禁地退縮。她想幹脆一把火把書稿燒了，但那樣做只有象徵意義。其實，只要對它們視而不見，效果是一樣的。
醫生也許會把這種舉止描述成自我強迫性行為。雷內想起先前自己作為病人時在這些傻瓜的監護下所受到的屈辱，不禁皺起眉頭。她想起自己作為有自殺念頭的病人，被鎖在病房裡，受到醫生助手們二十四小時的監護，還要接受醫生的拷問。他們一副屈尊的派頭，說的話枯燥又乏味。她不像裡瓦斯太太，不會玩弄伎倆。其實那些伎倆很簡單，只要說「我知道自己還沒有康復，但感覺好些了」，他們就會認為你差不多可以放出去了。
2b
卡爾站在門口注視雷內片刻，這才走過門廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出來那天的情景。他的父母來接他，回家途中，他母親嘮叨了一些空洞無物的話，什麼大家見到他會多麼高興呀等等。他竭力抑制住自己，才沒有甩開母親搭在他肩膀上的手。
他為雷內做的一切，正是他自己在被監護期間想得到的。儘管最初她拒絕見他，他還是每天都上醫院來，以便她想見他時，他在身邊。他們倆有時候交談，有時候只是在醫院裡散散步。他沒有發現自己做的一切有什麼不對，而且他知道，她很高興他這麼做。
他確實作了種種努力，但他只覺得自己在盡義務而已。
3
伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·懷特海在其合著的《數學原理》中，試圖將形式邏輯作為數學的嚴謹基礎。這部大作以他們所認為的公理開始，推演出愈來愈複雜的定理。到了第362頁，他們已經建立了足夠的定理，終於證明了「1+1=2」。
3a
七歲那年，雷內察看一個親戚的房子，她著迷似的發現地板上鋪的光滑的大理石地磚呈完美無瑕的正方形。一個一行，兩個兩行，三個三行，四個四行：地磚拼成正方形。無論你從哪面瞧去，形狀都一樣。更奇妙的是，每一個正方形都比前一個多出呈奇數的地磚。雷內獲得了頓悟。結論很自然：這種形式具有一種內在的完美，由地磚那光滑、清涼的感覺所證實。還有，地磚彼此拼接，之間的線條嚴密得天衣無縫。她為這種精確性激動得渾身顫抖。
在往後的歲月裡，她又獲得了其他頓悟，其他成就。二十三歲就完成令人驚歎的博士論文，寫的系列論文好評如潮。人們將她比作諾伊曼，大學競相籠絡她。而她自己對這一切向來不在意。她在意的是那種完美的感覺，她學到的每一個定理都具有這種完美，與地磚一樣實在，一樣精確。
3b
卡爾覺得今日的他是在與勞拉相識之後才誕生的。他出院後閉門不見任何人，但一位朋友設法把他介紹給勞拉。最初，他將她拒之門外，但她理解他。他身心俱疲時她愛他，一旦他康復，她又讓他自由。認識她之後，卡爾懂得了什麼叫感應他人的心靈。他脫胎換骨了。
勞拉獲得碩士學位後繼續深造，與此同時卡爾也在大學攻讀生物學博士學位。後來，他飽受各種精神危機和心臟疾病，但再也沒有絕望過。
一想到勞拉這種人，卡爾就驚羨不已。自從讀研究生以來，他就沒有和她交談過，這些年來她的生活怎麼樣？不知她愛上了什麼人。他很早就認識到了這種愛是什麼，不是什麼。他對這種愛無比珍視。
4
十九世紀初葉，數學家們開始探索不同於歐幾里得幾何的幾何學。這些新幾何學得出了一些似乎荒謬的結果，但在邏輯上卻沒有矛盾。後來證明，非歐幾何是與歐幾里得幾何學一致的相關學問，只要歐幾里得幾何學在邏輯上沒有矛盾，非歐幾何也就沒有矛盾。
但要證明歐幾里得幾何學的一致性，這可難倒了數學家們。到了十九世紀末葉，所取得的成就至多證明：只要算術在邏輯上沒有矛盾，那麼，歐幾里得幾何學就沒有矛盾。
4a
一開始，雷內只覺得這是個有點惱人的小麻煩。當時她穿過走廊，敲敲彼得·法布里希辦公室敞開的門。「彼得，有空嗎？」
法布里希將座椅從辦公桌後推開。「當然有空，雷內，什麼事？」
雷內走進去，心裡知道他會有什麼反應。以前她從來沒有向系裡任何人請教過問題，都是別人向她請教。沒有關係。「我想請你幫個忙。幾周前我曾告訴你我正在研究的體系，還記得嗎？」
他點了點頭，「你想用這個體系來改寫公理系統。」
「沒錯。是這樣的，幾天前我開始得出十分可笑的結論，現在我的體系也開始自相矛盾。請你看一看，好嗎？」
法布里希的表情在意料之中。「你想——當然可以，我很高興——」
「太好了。問題就出在頭幾頁的例子裡，其餘的供你參考。」說著她遞給他一紮薄薄的手稿，「我覺得如果讓我給你從頭到尾講一遍的話，你可能會受我引導，只能得出和我相同的結論。」
「也許你說得對。」法布里希瞧了瞧頭幾頁，「我不知道要多久才能看完。」
「不著急。等你有空，看一看我的假設是否有模糊之處，諸如此類的問題。我還會繼續研究的，到時候會告訴你我是否想出了新東西。好嗎？」
法布里希微笑道：「你準會今天下午就過來，告訴我你已經發現了問題。」
「恐怕不會，需要換一個人才能發現問題。」
他攤開雙手。「我試試吧。」
「謝謝。」法布里希不大可能充分理解她的體系，但她只需要某個人來檢查公式的細節問題就行了。
4b
卡爾是在一位同事舉行的聚會上與雷內相識的。他被她那張臉吸引住了。那是一張異常平庸的臉，大多數時間不苟言笑，但在那次聚會期間，他看見她兩度微笑，兩度皺眉。看她笑時覺得她不會皺眉，看她皺眉時又覺得她不會笑。卡爾很吃驚；他能夠辨認出什麼樣的臉經常微笑，什麼樣的臉經常皺眉，但是對她那張臉，他卻捉摸不透。
他花了很長一段時間來了解雷內，讀懂她的表情。不過，這無疑是值得的。
此時，卡爾坐在書房裡的安樂椅上，膝蓋上放著一本最新一期的《海洋生物學》雜誌，他在傾聽雷內在客廳對面她自己的書房裡揉皺紙張的沙沙聲。整個晚上她都在工作，可以感覺出她愈來愈焦躁不安。不過他進去察看時，她又板起平時那張沒有表情的臉，絲毫看不出什麼來。
他將雜誌放到一邊，再次起身走到她的書房門口。只見書桌上攤開一冊書，書頁上佈滿難以辨識的公式，點綴著用俄語寫的評註。
她瀏覽著一些資料，難以覺察地皺皺眉，啪的一聲合上。卡爾聽見她嘀咕了一聲「沒用」，然後將書放回書架。
「這樣下去你會弄出高血壓的。」卡爾取笑道。
「別以我的保護人自居。」
卡爾吃了一驚，「我沒有。」
雷內轉身瞧著他，怒目相對。「我知道自己什麼時候工作有效率，什麼時候沒有。」
心一涼。「那麼，我就不打擾你了。」他退了出去。
「謝謝」說完，她的注意力又回到書架上。卡爾離開了，竭力揣測她的瞪視的含義。
5
在一九〇〇年舉行的國際數學大會上，大衛·希爾伯特列出了二十三個懸而未決的重大數學問題。他列出的第二大問題是請證明算術在邏輯上的一致性。這個問題一旦被證明，就將保證高等數學許多內容的一致性。就本質而言，這個證明所能保證的是這一點：不可能證明一等於二。認為這個問題具有重大意義的數學家寥寥無幾。
5a
法布里希還沒有開口，雷內就知道他要說什麼了。
「這簡直是我見過的最要命的東西。還不大會走路的幼兒會把不同斷面的積木嵌進不同形狀的槽子裡，你知道那種玩具嗎？讀你的形式體系，就好像觀看一個人把一塊塊積木滑進木板上的每一個洞裡，每一次都做得天衣無縫。」
「這麼說來，你發現不了錯誤？」
他搖搖頭。「發現不了。我滑進了和你相同的套路，只能用你的方法思考這個問題。」
雷內卻已經不在老套路上了；她另闢蹊徑，想出了一個截然不同的路子來解決這個問題，但卻僅僅證明了原先的體系確實存在矛盾。「不過，還是謝謝你費心了。」
「你要另外找人看一看嗎？」
「是的。我想寄給伯克利的卡拉漢看看。去年春天那次會議以來，我們一直保持著聯絡。」
法布里希點了點頭，「他上次發表的一篇文章真的給我留下很深的印象。如果他發現了問題，請一定告訴我。我很好奇。」
雷內會用比「好奇」更強烈的字眼來形容她自己的心情。
5b
雷內對自己的研究感到絕望了嗎？卡爾知道她從來不覺得數學真的困難，而只把它當成一種智力挑戰。難道她是第一次遇到無法突破的難題？或者說，數學本身就是無解的嗎？嚴格說來，卡爾自己是一個實驗主義者，並不真正懂得雷內是怎麼創造新的數學體系的。雖說聽上去有點傻，但是——她是靈感枯竭了嗎？
雷內是成年人，不會像神童那樣，因為發現自己正在成為平庸的成年人而感到幻滅的痛苦。另一方面，許多數學家在三十歲之前就達到事業的巔峰。雖然她離三十歲還有幾年，但也許她對這個年齡界限逼近自己而感到焦慮。
似乎不大可能，他又漫無邊際地想了其他幾種可能性。她會不會對學術感到愈來愈悲觀？是對自己的研究過於專業化而感到悲哀嗎？再不然，純粹是對自己的工作感到厭倦了嗎？
卡爾並不相信這些焦慮是雷內行為古怪的原因。果真是這樣的話，他覺得自己肯定會發現蛛絲馬跡。但他現在得到的印象卻全然不是這麼回事。令雷內感到苦惱的無論是什麼，反正他猜不透。這使他感到煩惱。
6
一九三一年，庫爾特·哥德爾證明了兩大定理。第一個定理實際上表明：數學包含或許是真實的，但在本質上卻無法證明的陳述。甚至簡單如算術的形式系統也可以包含精確、有意義，而且似乎是真實無疑的陳述，但卻無法用形式方法加以證明。
他的第二個定理表明：斷言算術具有邏輯上的一致性，這就是上面所說的那種陳述之一，採用算術公理的任何方法都不能證明其真實性。也就是說，作為一種形式系統的算術無法保證不會得出一等於二這樣的結果。這樣的矛盾也許永遠不會遇到，但卻無法證明絕對不會遇到。
6a
卡爾再次走進雷內的書房。她站在書桌前，抬頭看他。他鼓起勇氣說：「雷內，顯然是——」
她打斷他，「你想知道我煩惱的原因嗎？好吧，我告訴你。」說著便拿出一張白紙，在書桌前坐下，「等一下，這需要一點時間。」卡爾又張開嘴，但雷內揮手示意他保持沉默。接著，她深深地吸了一口氣，開始寫起來。
她畫了一條線，穿過紙的中央，將紙分成兩欄。然後，她在一欄的頂部寫下數字1，另一欄的頂部寫下數字2。接著她在這兩個數字下面迅速地畫了一些潦草的符號，又在這些符號下面把它們擴充套件成一串串別的符號。她邊寫邊咬牙切齒，寫下那些文字時，感覺好像她正用指甲刮過黑板似的。
寫到紙的三分之二左右時，雷內開始將長串長串的符號縮短成連續的短串符號。她心裡想，現在要到關鍵處了。她意識到自己用力過大，下意識地放鬆握在手中的鉛筆。在她寫出的下一行上，符號串變成一樣的了。接著，她重重地畫了個「=」號，橫過紙的底部中心線。
她將紙遞給卡爾。他望著她，表示看不懂。「看一看最上面吧。」他照辦了，「再看一看最下面。」
他眉頭緊鎖。「我還是看不懂。」