「我發現了一種體系，可以使任何數字等於任何別的數字。這張紙上就證明了一和二是相等的。你隨便挑兩個數字，我都可以證明它們是相等的。」
卡爾似乎竭力在回憶什麼。「裡面肯定出現了以零為被除數的情況，對嗎？」
「不對。沒有不符合規則的運算，沒有不嚴謹的術語，沒有想當然假定的獨立公理，全都沒有。證明過程絕對沒有采用任何規則禁止的東西。」
卡爾搖了搖頭。「等一下。顯然一和二是不相等的。」
「但在形式上它們是相等的，證明就在你手裡。我使用的一切方法都是絕對無可爭議的。」
「但你得出了一個矛盾的結果？」
「說對了。也就是說，算術作為一種形式系統，是不一致的。」
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「你找不出錯誤來，這就是你的意思嗎？」
「不對，你沒有明白我的意思。你以為我是因為這個才焦頭爛額的嗎？證明本身並沒有錯誤。」
「你的意思是說，用的方法都是對的，結果卻出了錯？」
「正確。」
「你肯定——」他戛然而止，卻太晚了。她瞪著他。她當然可以肯定。他想知道她到底想得出什麼結論。
「你懂嗎？」雷內道，「我已經推翻了大半個數學，這門學問全都沒意義了。」
她焦躁起來，幾乎快發瘋了。卡爾小心翼翼地選擇字眼，「你怎麼能這麼說？數學仍然有用。科學和經濟並不會因為你這個領悟而突然崩潰的。」
「這是因為他們使用的數學純粹是騙人的把戲，是一種口訣式的小玩意兒，跟用指關節來計算哪些月份有三十一天一樣。」
「不一樣。」
「為什麼不一樣？現在，數學與現實絕對毫無關係。且不說像虛數或者無窮小數之類的概念，就連該死的整數加法都跟用指頭計算毫無關係。你用指頭計算，一加一始終等於二，但在紙上我可以給你無窮多的答案，這些答案全都同樣有效，這也意味著它們全都同樣無效。我可以寫出你見過的最優美的定理，但它卻不過是一個瞎扯淡等式。」她苦笑起來，「實證主義者曾經說一切數學都是同義反復。他們錯了；數學是自相矛盾。」
卡爾試了試另一種方式。「等一下。剛才你提到的虛數這類想象出來的概念，大家不也一樣接受了嗎？現在不也可以這樣嗎？數學家們曾經相信虛數沒有意義，可是現在它們成了數學的基礎概念。情況完全是一樣的呀。」
「不一樣。當時的解決方法只是擴充套件語境，用在這裡不起作用。虛數給數學增添了新的內容，而我的形式系統卻是給已經存在的東西下定義。」
「但是，如果你改變語境，從不同的角度探索——」
她翻了個白眼。「不可能！這個體系是從和加法一樣明白無誤的公理得出的結果，無法繞過。我可以擔保。」
7
一九三六年，格哈德·根岑提出了一種對算術一致性的證明，可是要作出證明，他需要採用一種有爭議的方法，即人們所知道的超限歸納法。這種方法不屬於正常的證明方法，因此似乎難以恰當地保證算術的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法來證明顯而易見的東西。
7a
卡拉漢從伯克利大學打電話來說他也不能雪中送炭，但表示願意繼續研究她的論文，似乎她觸及了某種本質的，而又令人不安的東西。他想知道她是否打算發表她的形式體系，如果這個體系的確包含他們兩人都無法發現的錯誤，數學界肯定會有其他人能夠發現。
雷內幾乎沒有聽他說話，只是嘀咕以後會打電話聯絡他。近來，她與人講話很困難，尤其是那次與卡爾爭論以來，情況更糟糕。系裡的同事們都儘量避開她。她顯得心不在焉。前一天夜裡她做了一個噩夢，夢見自己發現了一種形式體系，可以使她將主觀概念轉換成數學語言，然後，她證明了生與死是相同的。
有一種可能性讓她十分驚恐：她可能正在失去理智。她的思維肯定已不再清晰，這與失去理智已經相差無幾了。
她責備自己，你是一個多麼可笑的女人。哥德爾證明他的不完全定理後自殺了嗎？
但是，哥德爾的定理是優美的，讓人肅然起敬，是雷內所見過的最優美的定理之一。
而她自己的證明卻嘲諷她，譏笑她。就好像益智書中的一道難題，它說：這下我可把你難住了。你跳過這個錯誤，檢視自己在哪兒出了問題，結果繞了一圈又兜回來，那個難題再一次對你說：又把你難住了。
她估計卡拉漢也會考慮她的發現對數學的意義。數學的許多內容並沒有實際用處，她的理論也可以僅僅作為一種形式而存在，研究它只是為了它所包含的智力美。但這是不能持久的。自相矛盾的理論實在太無意義了，絕大多數數學家只會厭惡地置之不理。
使雷內真正感到惱火的是她自己的直覺出賣了她。那個該死的定理大有道理。它以自己怪異的方式給人一種感覺：它是正確的。她理解它，知道它是真實的，並且相信它。
7b
想到她生日那天的情景，卡爾微笑起來。
「我不相信！你怎麼可能知道？」她手裡抱著一件毛衣跑下樓來。
去年夏天，他們倆在蘇格蘭度假。愛丁堡一家百貨商店有一件毛衣吸引住了雷內的目光，但當時她沒有買。於是他訂購了這件毛衣，放在她的梳妝檯抽屜裡，等那天早晨給她一個驚喜。
「你這個人太容易被人一眼識破了。」他取笑她。夫妻倆都知道這不是真話，但他還是喜歡這樣告訴她。
那是兩個月前的事情了。差點兩個月。
現在情況不同了，需要改變一下做法。卡爾走進雷內的書房，發現她正坐在椅子上眺望窗外。「猜一猜我為我們倆搞到了什麼？」
她抬起頭來。「什麼？」
「週末遊。我在比爾特莫爾訂了一套房間。我們可以放鬆放鬆，什麼都不做——」
「請別說下去了。」雷內說，「卡爾，我明白你的心意。你想讓我們做點愉快的事情，好讓我散散心，不去想這個形式體系。但這不起作用。你不知道我承受的是什麼樣的壓力。」
「算了吧，算了吧。」他拉住她的手，想把她從椅子上拉起來，可是她掙開了。卡爾稍站片刻，突然，她轉過身來，死死盯著他。
「我想吃安眠藥，這你知道嗎？我幾乎希望自己是一個白痴，用不著去思考形式體系。」
他大吃一驚，不知道說什麼好。「你至少可以嘗試離開一段時間，為什麼不呢？有益無害呀，說不準能分散你的心思呢。」
「沒有什麼可以分散我的心思。你不明白。」
「那就解釋給我聽吧。」
雷內撥出一口氣，轉身想了一下。「這就像我看見的一切都在向我大喊大叫那個矛盾。」她說，「現在我一直在給不同的數字畫等號。」
卡爾陷入了沉默。突然間，他懂了。「這就好像面對量子力學問題的古典物理學家們。彷彿你一直相信的理論給取代了，而新的理論又沒有意義，但不知怎麼回事，所有證據卻都支援這種新理論。」
「不對，壓根兒不是那麼回事。」她幾乎對他的說法嗤之以鼻，「這與證據沒有絲毫關係；這完全是先驗的。」
「怎麼沒關係？你的推理和證據之間互相矛盾，這不正是你的問題嗎？」
「基督呀，你在開玩笑嗎？我測算一和二相等，現在我的直覺也告訴我它們相等。我腦子裡再也沒有不同數量這個概念了，它們對我來說全都是相同的。」
「你不是這個意思吧。」他說，「事實上誰也不可能經歷這種事情。」
「你怎麼知道我能夠經歷什麼呢？」
「我在盡力去理解。」
「別操那份心了。」
卡爾失去了耐心。「那好吧。」說著他走出房間，取消了預訂。
從那之後，夫妻倆彼此寡言少語，只有必要時才說話。三天後，卡爾把他需要用的一盒載玻片落在家裡，便驅車回家取，到家後發現桌子上有一張妻子的留言條。
接下來，卡爾產生了兩個直覺。他飛奔穿過房子，邊跑邊納悶她是否從化學系搞到了氰化物。就在這時，他產生了第一個直覺：他意識到因為不明白是什麼原因導致她做出這種事，所以對她沒有什麼同情之類的感受，沒有任何感受。
當他一邊猛敲臥室門，一邊向屋裡的她吼叫的時候，他產生了第二個直覺：一種記憶錯覺。這種情形似曾相識，卻又逆反得荒謬。他記得自己曾經待在一座建築物房頂的一道鎖著的門內，聽見一位朋友在外面一邊猛力敲門，一邊向他吼叫別尋短見。此刻他站在臥室門外，聽見她羞愧地癱倒在地板上哭泣，與他當年待在門裡面時的情形毫無二致。
8
希爾伯特曾經說過：「如果連數學思維都有缺陷，我們還能在哪裡找到真理與確定呢？」
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雷內暗自納悶：她自殺未遂會給自己的一生蒙上陰影嗎？她把書桌上的論文整理好。從此以後，人們會下意識地把她視為行為反覆無常的人嗎？她從來沒有問過卡爾他是否也有過這種焦慮，也許是因為不願對他提起當年他自殺的事。那是多年以前的事了，如今，任何見到他的人都會立刻知道他是一個健全的人。
然而，雷內卻不能說自己是個健全的人。眼下，她不能理性地討論數學，而且不敢肯定將來她是否能夠恢復理智。現在，如果她的同事見到她，會不會說她已經喪失了數學才華？
做完案頭的工作，雷內離開書房，走進起居室。她的形式體系傳遍數學界後，將徹底動搖根深蒂固的數學基礎，但是隻有少數人會受到她這樣的影響。大多數人會像法布里希一樣，機械地理解她的證明，被它折服，但僅此而已。能同她一樣感受深切的只有那些能夠真正領會其中的矛盾，並能夠憑直覺感知這種矛盾的人。卡拉漢就是其中的一位。她心想，隨著時間的推移，不知他會如何對付這個矛盾。
雷內用手指在鋪滿灰塵的茶几上畫了一條曲線。如果是在以前，她可能會確定曲線的引數，分析曲線的一些特點。而現在，這一切似乎都毫無意義了。她的想象力簡直崩潰了。
同許多人一樣，她以前一直以為數學並不從宇宙那裡獲得意義，而是賦予宇宙以意義。物理實體無所謂大或者小，無所謂相同或者不相同，它們純粹是存在。數學是完全獨立的，它實際上賦予這些物理實體以語義，提供範疇和關係。它並不描述任何內在的品質，僅僅提供一種可能的闡釋。
然而，這一切都不復存在了。數學一旦從物理實體分離出來，就不一致了，而一種形式理論如果不一致，就變得毫無意義。算術是經驗主義的，僅此而已，引不起她的任何興趣。
那麼，現在她改行幹什麼呢？她知道曾經有個人放棄學術研究去賣手工皮革製品。她需要一段時間重新找回自我，而這正是卡爾一直努力幫助她做的。
8b
卡爾的朋友中有兩個女人，馬琳和安娜，她們倆也是知心好友。幾年前，馬琳曾經想自殺，她並沒有尋求安娜的幫助，而是求助於卡爾。有幾次，卡爾和馬琳坐在一塊兒，通宵達旦，或促膝談心，或默默相視。卡爾知道安娜一直對他和馬琳之間的心靈相通有一點兒嫉妒。他究竟有什麼奧妙，能走進馬琳的心靈，對此安娜一直感到納悶。其實答案很簡單。這就是同情與共鳴之間的差異。
卡爾一生不止一次在類似的情況下給予他人安慰。不用說，他為自己能夠幫助他人感到高興，但還不止這個。他覺得替別人設身處地，把自己當作另一個人，這種感覺很好。
迄今為止，他一直有理由認為富有同情心是他的本性。他珍視這一點，覺得自己如果不能與他人產生共鳴就一無是處。可是，現在他卻遭遇到他前所未遇的事情，在這件事面前，他平時的本能不起任何作用了。
如果有人在雷內生日那天告訴他，兩個月後他就會有這種感覺，那他只會一笑置之。當然，這種事情有可能會在幾年後發生，卡爾知道時間的力量。可是兩個月？
結婚六年後，卡爾對雷內的愛淡漠了。他憎惡自己有這個想法，但事實是她變了，現在他既不理解她，也不知道如何設身處地替她著想。雷內的理智和情感交織在一塊，密不可分，因而她的情感也令他不可捉摸。
隨之而起的是自我寬恕的條件反射。他這樣想：你不可能要求別人在任何危機中都始終如一地支援你。如果一個人的妻子突然患了精神病，那麼她丈夫離開她是一種罪惡，但卻是情有可原的。廝守在妻子身邊就意味著接受一種不同的關係，這種關係並不適合每一個人，所以卡爾絕不譴責這種處境下的任何人。然而，始終存在一個沒有提出來的問題：我怎麼辦？而他的回答始終是：我要待下去。
偽君子。
最糟糕的是，他曾經也有過同樣的遭遇。他曾經沉浸在自己的痛苦裡，曾經摺磨過別人的忍耐力，有人始終如一地呵護他。他離開雷內是不可避免的，但那將是一種他永遠不可能寬恕的罪惡。
9
阿爾伯特·愛因斯坦曾經說過：「只要數學定理描述現實，它們就不是確定的；只要它們是確定的，就不描述現實。」
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卡爾在廚房裡剝豆子準備晚餐時，雷內走進來說：「可以和你談一下嗎？」
「沒問題。」夫妻倆坐在餐桌旁。她故意眺望窗外；這是她即將開始嚴肅談話時的習慣。他突然對她要說什麼害怕起來。在她完全康復之前，他並不打算告訴她他要離開，而她康復還需要幾個月的時間。現在還為時過早。
「我知道我們一直沒有明說——」
別，他暗自祈禱，別說出來，請別說。
「——不過，有你守在我身邊，我真的十分感激。」
一針見血，卡爾閉上眼睛。謝天謝地，雷內依然望著窗外。情況將變得非常非常糟糕。
她仍然在說：「一直縈繞在我腦際的東西——」她停頓了一下，「絲毫不像我所想象的一切。如果那是常見的抑鬱，我知道你會理解的，而且我們可以對付。」
卡爾點了點頭。
「可是，情況是這樣的，我幾乎像一個在證明上帝並不存在的神學家。我並不只是懷有這種擔心，而是知道這是事實。這聽起來很荒唐嗎？」
「不。」
「我無法向你表達這種情感。這曾經是我深信不疑的東西，但現在它卻不是真實的，而且還是我自己證明出來的。」
他張開嘴，想說他完全明白她的意思，他與她有同樣的感受。但他沒有說出來。因為這種感應將使他們分離，而不是凝聚在一起，所以他不能告訴她。
[後記]
有一個著名的公式：eπi+1＝0。第一次意識到這個公式可以推匯出什麼來時，我吃驚得合不攏嘴。讓我詳細解釋一下。
我們最推崇的是這樣的小說結尾：出乎意料，卻又無可避免。當然，我們也知道，所謂無可避免，其實並不真的是無可避免，只是由於作者的才能，我們才覺得這種結局無法避免。
再回頭看上面那個公式。它才是真正的出乎意料。你很可能會無數次擺弄e、π和i的值，卻意識不到其中的機關。在這種情況下，你就會覺得這個公式是無可避免的，它只能這樣，這時你就會產生一種敬畏，好像你突然發現了一個絕對真理。
今後，也許會有人證明數學其實並不具備人們一直相信它具備的一致性，所謂數學的美只是虛幻。在我看來，世間再沒有比這更煞風景的事了。
王榮生譯